Hayat Tablosu & Ölüm Olasılıkları
qₓ, pₓ, ₙpₓ, ₙqₓ ve ₘ|ₙqₓ hesaplamaları
Kaynak: The Mathematics of Life Insurance — Bölüm 1
🔢
Parametre Girişi
lₓ değerleri CSO 1958 tablosundan alınmıştır
Temel Formüller
qₓ = dₓ / lₓ = (lₓ − lₓ₊₁) / lₓpₓ = lₓ₊₁ / lₓ = 1 − qₓ
ₙpₓ = lₓ₊ₙ / lₓ
ₙqₓ = (lₓ − lₓ₊ₙ) / lₓ
ₘ|ₙqₓ = (lₓ₊ₘ − lₓ₊ₘ₊ₙ) / lₓ
0 ≤ x ≤ 99
ₙpₓ ve ₙqₓ için
ₘ|ₙqₓ için (0=erteleme yok)
⚠️
✓
Hesaplama Sonuçları
lₓ — Hayatta Kalan
—
x yaşında hayatta olan kişi sayısı
qₓ — Yıllık Ölüm Olasılığı
—
x yaşında 1 yıl içinde ölüm olasılığı
pₓ — Yıllık Hayatta Kalma
—
x yaşında 1 yıl daha yaşama olasılığı
ₙpₓ — n-yıl Hayatta Kalma
—
—
ₙqₓ — n-yıl Ölüm Olasılığı
—
—
ₘ|ₙqₓ — Ertelenmiş Ölüm
—
—
| Yaş (x) | lₓ | dₓ | qₓ | pₓ | eₓ (Bekl.Ömür) |
|---|
Net Tek Prim & Yaşam Anüitesi
Aₓ, äₓ, äₓ:n̄, A¹ₓ:n̄ — Komütasyon sembolleriyle
Kaynak: The Mathematics of Life Insurance — Bölüm 2–3
Komütasyon sembolleri: Dₓ = vˣlₓ, Nₓ = Σ Dₓ₊ₜ, Cₓ = v·Dₓ − Dₓ₊₁, Mₓ = Σ Cₓ₊ₜ.
Tüm hesaplamalar 1958 CSO tablosuyla yapılır.
📐
Parametre Girişi
Temel Formüller (Komütasyon)
äₓ = Nₓ / Dₓ (Ömür boyu anüite, yıl başı)äₓ:n̄ = (Nₓ − Nₓ₊ₙ) / Dₓ (n-yıl geçici anüite)
Aₓ = Mₓ / Dₓ (Ömür boyu hayat sigortası net tek primi)
A¹ₓ:n̄ = (Mₓ − Mₓ₊ₙ) / Dₓ (n-yıllık vadeli sigorta)
Aₓ:n̄ = (Mₓ − Mₓ₊ₙ + Dₓ₊ₙ) / Dₓ (n-yıl karma sigorta)
Pₓ = Aₓ / äₓ (Yıllık net prim)
% cinsinden girin (ör: 5 → %5)
⚠️
✓
Hesaplama Sonuçları
Net Tek Prim (A)
—
1000 TL sigorta için ödeme değeri
Yıllık Net Prim (P)
—
Yılda ödenecek net prim (1000₺ için)
Yaşam Anüitesi (ä)
—
Yıllık 1₺ anüitenin bugünkü değeri (katsayı)
İskonto faktörü (v)
—
v = 1/(1+i)
Toplam Net Tek Prim (₺)
—
Girilen tutar için
Toplam Yıllık Prim (₺)
—
Girilen tutar için
Net Seviye Rezervi (Prospektif)
₍ₜ₎Vₓ — t. yıl terminal rezerv hesabı
Kaynak: The Mathematics of Life Insurance — Bölüm 4
Prospektif rezerv = Gelecekteki fayda bugünkü değeri − Gelecekteki prim bugünkü değeri.
Bu araç, ömür boyu ve vadeli hayat sigortaları için t. yıl rezervini hesaplar.
📐
Parametre Girişi
Prospektif Rezerv Formülleri
ₜVₓ = Aₓ₊ₜ − Pₓ · äₓ₊ₜ (Ömür boyu hayat)ₜV¹ₓ:n̄ = A¹ₓ₊ₜ:n-t̄ − Pₓ:n̄ · äₓ₊ₜ:n-t̄ (Vadeli hayat)
ₜVₓ:n̄ = Aₓ₊ₜ:n-t̄ − Pₓ:n̄ · äₓ₊ₜ:n-t̄ (Karma sigorta)
Kommutation: ₜVₓ = (Mₓ₊ₜ − Mₓ₊ₙ) / Dₓ₊ₜ − P·(Nₓ₊ₜ − Nₓ₊ₙ) / Dₓ₊ₜ
t ≤ n olmalıdır
⚠️
✓
Rezerv Sonuçları
Net Rezerv (₺)
—
t. yıl terminal rezervi
Rezerv Oranı
—
Sigorta tutarına oranı (%)
Gelecek Fayda BD
—
Present value of future benefits
Gelecek Prim BD
—
Present value of future premiums
Yıllık Net Prim (₺)
—
İhraçtaki yıllık net prim
x+t Yaşı
—
Rezerv hesaplandığı yaş
| Yıl (t) | Yaş (x+t) | Rezerv Oranı | Rezerv (₺) | Gelecek Fayda BD | Gelecek Prim BD |
|---|
Hasar Dağılımı & Risk Ölçütleri
VaR, TVaR, Beklenti, Varyans — Pareto, Lognormal, Exponential
Kaynak: Nonlife Actuarial Models — Tse, Bölüm 2–4
VaR (Value at Risk): δ. kantil — F(VaRδ) = δ
TVaR (Tail VaR / CVaR): Kuyruk beklentisi — E[X | X > VaRδ]
Pareto: ağır kuyruklu, büyük hasar modelleri için. Lognormal: asimetrik hasar dağılımı.
TVaR (Tail VaR / CVaR): Kuyruk beklentisi — E[X | X > VaRδ]
Pareto: ağır kuyruklu, büyük hasar modelleri için. Lognormal: asimetrik hasar dağılımı.
📐
Dağılım Seçimi ve Parametreler
Dağılım Formülleri
Pareto P(α,γ): F(x) = 1 − [γ/(γ+x)]^α, E[X] = γ/(α−1), VaR = γ[(1−δ)^(−1/α)−1]Lognormal L(μ,σ²): F(x) = Φ[(ln x − μ)/σ], E[X] = e^(μ+σ²/2), VaR = e^(μ+σ·z_δ)
Exponential E(λ): F(x) = 1−e^(−λx), E[X] = 1/λ, VaR = −ln(1−δ)/λ
TVaR: TVaRδ(X) = VaRδ + e(VaRδ) (ortalama aşım kayıp)
α > 1 (E[X] var olsun)
γ > 0
%95 → 0.95
Ortalama aşım kaybı için
⚠️
✓
Dağılım İstatistikleri & Risk Ölçütleri
Beklenti E[X]
—
Ortalama hasar tutarı
Standart Sapma σ
—
√Var(X)
VaRδ(X)
—
δ. kantil değeri
TVaRδ(X)
—
Kuyruk beklentisi (CVaR)
Medyan
—
F(medyan) = 0.50
Ort. Aşım Kaybı e(d)
—
Mean excess loss